Question

如图，在三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若AB=2

2

，则此正三棱锥外接球的体积是（　　）

• A、12π
• B、4

  3

  π
• C、

  4 3

  3

  π
• D、12

  3

  π

Answer 1

考点：球的体积和表面积,直线与平面垂直的判定

专题：球

分析：由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．

解答：解：∵三棱锥S-ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC
又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球．
∴侧棱长为：2，
∴R=

1

2

×2

3

=

3

，
∴正三棱锥外接球的体积是

4π

3

R3=4

3

π．
故选：B．

点评：本题是中档题，考查三棱锥的外接球的体积，考查空间想象能力，三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．