Question

（附加题）（Ⅰ）过曲线y=x²（x≥0）上某一点A作一切线l，使之与曲线以及x轴所围成的图形的面积为

1

12

，试求：
（1）切点A的坐标；
（2）过切点A的切线l的方程；
（3）上述所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

Answer 1

分析：（1）欲求切点A的坐标，设切点为A（x₀，y₀），只须求出其斜率，再利用导数求出在切点处的导函数值即可，
（2）再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得切线方程．最后利用切线l交x轴于 B(

1

2

，0)可使问题切点A的切线l的方程解决．
（3）欲求平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积，先将其化为：V=π

∫

0 1

x4dx-π

∫

1 2 1

(2x-1)2  dx，最后利用不定积分求其体积即可．

解答：解：（1）设点A的坐标为（a，a²），过点A的切线的斜率为k=y'|_x=a=2a，
故过点A的切线l的方程为y-a²=2a（x-a），
即y=2ax-a²，令y=0，得x=

a

2

，
则S△ABC=

1

2

•

a

2

•a2=

a3

4

，S△ABO=

∫

a 0

x2dx=

x3

3

|

a 0

=

a3

3

，
∴S=S△ABO=S△ABC=

a3

12

=

1

12

∴a=1
或解：S=

∫

a2 0

[

1

2

a+

y

2a

-

y

]dy=(

1

2

ay+

y2

4a

-

2

3

y

3

2

)

.

a2 0

=

1

12

a3=

1

12

，
∴a=1
∴切点A的坐标为（1，1）（2）直线方程为y=2x-1
（3）l与x轴的交点为(

1

2

，0)，
故V=π

∫

1 0

x4dx-π

∫

1 1 2

(2x-1)2dx=

1

5

πx5

.

1 0

-

1

6

π(2x-1)3

.

1 1 2

=

1

30

π

点评：本小题主要考查函定积分的简单应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．