Question

已知向量

a

=（x²+1，p+2），

b

=（3，x），f（x）=

a

•

b

，p是实数．
（1）若存在唯一实数x，使

a

+

b

与

c

=（1，2）平行，试求p的值；
（2）若函数y=f（x）是偶函数，试求函数y=|f（x）-15|在区间[-1，3]上的值域；
（3）若函数f（x）在区间[-

1

2

，+∞）上是增函数，试讨论方程f（x）+

x

-p=0解的个数，说明理由．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用向量共线定理、一元二次方程由实数根与判别式的关系即可得出；
（2）根据f(x)=

a

•

b

=3x2+(p+2)x+3是偶函数，可得-

p+2

6

=0，y=|3x²-12|=

3x2-12，x∈[2，3] 12-3x2，x∈[-1，2)

，利用二次函数的单调性即可得出；
（3）由函数f（x）在区间[-

1

2

，+∞)上是增函数，根据二次函数的单调性可得：-

p+2

6

≤-

1

2

，解得p≥1，方程f(x)+

x

-p=0，可化为3x2+(p+2)x+3-p=-

x

，记g（x）=3x²+（p+2）x+3-p，利用二次函数的单调性及其函数y=-

x

在[0，+∞）上是减函数，可得当

p≥1 g(0)=3-p＞0

，或
当

p≥1 g(0)=3-p≤0

，解出即可．

解答： 解．（1）∵

a

=(x2+1，p+2），

b

=(3，x），
∴

a

+

b

=(x2+4，x+p+2)，
又∵

a

+

b

与

c

=(1，2)平行，
∴2（x²+4）=x+p+2，
即2x²-x-p+6=0，
由题意知方程2x²-x-p+6=0有两个相等的实根，
∴△=1-8（6-p）=0，
∴p=

47

8

．
（2）∵f(x)=

a

•

b

=3x2+(p+2)x+3是偶函数，
∴-

p+2

6

=0，∴p=-2，
∴y=|f（x）-15|=|3x²-12|=

3x2-12，x∈[2，3] 12-3x2，x∈[-1，2)

在[-1，3]上的值域是[0，15]．
（3）∵函数f（x）在区间[-

1

2

，+∞)上是增函数，
∴-

p+2

6

≤-

1

2

，∴p≥1，
方程f(x)+

x

-p=0即3x2+(p+2)x+3+

x

-p=0，
可化为3x2+(p+2)x+3-p=-

x

，
记g（x）=3x²+（p+2）x+3-p，
显然，函数g（x）与f（x）有相同的单调性，即函数g（x）在[-

1

2

，+∞)上也是增函数，
又∵函数y=-

x

在[0，+∞）上是减函数，
∴当

p≥1 g(0)=3-p＞0

，即1≤p＜3时，原方程无解；
当

p≥1 g(0)=3-p≤0

，即p≥3时，原方程有且仅有一个解．

点评：本题考查了向量的数量积运算、向量共线定理、二次函数的单调性、方程的解转化为函数图象的交点、绝对值的意义，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．