Question

13．若AB是过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与坐标轴不平行，k_AM、k_BM分别表示直线AM、BM的斜率，则k_AM•k_BM=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．

Answer 1

分析 设直线AB的斜率存在时方程为y=kx，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．M（x₀，y₀）．代入椭圆方程可得${y}_{0}^{2}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）$．直线方程与椭圆方程联立化为x²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$=-x₁x₂，x₁+x₂=y₁+y₂=0，y₁y₂=k²x₁x₂．代入k_AM•k_BM=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{0}-{y}_{2}}{{x}_{0}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}-{y}_{0}（{y}_{1}+{y}_{2}）+{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{0}^{2}-{x}_{0}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$，化简即可得出．

解答 解：设直线AB的斜率存在时方程为y=kx，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．M（x₀，y₀）．
则$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得${y}_{0}^{2}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为x²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
且x₁+x₂=y₁+y₂=0，x₁x₂=-$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²x₁x₂=-k²•$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．
∴k_AM•k_BM=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{0}-{y}_{2}}{{x}_{0}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}-{y}_{0}（{y}_{1}+{y}_{2}）+{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{0}^{2}-{x}_{0}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}-\frac{{a}^{2}{b}^{2}{k}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}{{x}_{0}^{2}-\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）-\frac{{a}^{2}{b}^{2}{k}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}{{x}_{0}^{2}-\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．
故答案为：-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．