Question

16．在平面直角坐标系上，有一点列P₀，P₁，P₂，P₃，…，P_n-1，P_n，设点P_k的坐标（x_k，y_k）（k∈N，k≤n），其中x_k、y_k∈Z，记△x_k=x_k-x_k-1，△y_k=y_k-y_k-1，且满足|△x_k|•|△y_k|=2（k∈N^*，k≤n）；
（1）已知点P₀（0，1），点P₁满足△y₁＞△x₁＞0，求P₁的坐标；
（2）已知点P₀（0，1），△x_k=1（k∈N^*，k≤n），且{y_k}（k∈N，k≤n）是递增数列，点P_n在直线l：y=3x-8上，求n；
（3）若点P₀的坐标为（0，0），y₂₀₁₆=100，求x₀+x₁+x₂+…+x₂₀₁₆的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知得|△x₁|•|△y₁|=2，0＜△x₁＜△y₁，$\left\{\begin{array}{l}{△{x}_{1}=1}\\{△{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，由此能示出P₁的坐标．
（2）求出p_n（n，1+2n），将P_n（n，1+2n）代入y=3x-8，能求出n．
（3）y₂₀₁₆=△y₁+△y₂+…+△y₂₀₁₆=100，设T_n=x₀+x₁+x₂+…+x_n=n△x₁+（n-1）△x₂+…+2△x_n-1+△x_n，由此能求出x₀+x₁+x₂+…+x₂₀₁₆的最大值．

解答 解：（1）∵x_k∈Z，y_k∈Z，∴△x_k，△y_k∈Z，
又∵|△x₁|•|△y₁|=2，0＜△x₁＜△y₁，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△{x}_{1}=1}\\{△{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，
∴x₁=x₀+△x₁=0+1=1，
y₁=y₀+△y₁=1+2=3，
∴P₁的坐标为（1，3）．
（2）∵${x}_{0}=0，△{x}_{k}=1（k∈{N}^{*}，k≤n）$，
∴x_n=x₀+△x₁+△x₂+…+△x_n=n，
又|△x_k|•|△y_k|=2，△x_k=1，
∴△y_k=±2，（k∈N^*，k≤n），
∵y_k=y₀+△y₁+△y₂+△y₃+…+△y_n，
{y_k}（k∈N，k≤n）是增数列，
∴$△{y}_{k}=2，（k∈{N}^{*}，k≤n）$，
∴y_k=y₀+△y₁+△y₂+△y₃+…+△y_n=1+2n，
∴p_n（n，1+2n），
将P_n（n，1+2n）代入y=3x-8，得1+2n=3n-8，
解得n=9．
（3）∵y_k=y₀+△y₁+△y₂+△y₃+…+△y_n，
∴y₂₀₁₆=△y₁+△y₂+…+△y₂₀₁₆=100，
设T_n=x₀+x₁+x₂+…+x_n
=x₀+（x₀+△x₁）+（x₀+△x₁+△x₂）+…+（x₀+△x₁+△x₂+…+△x_n）
=n△x₁+（n-1）△x₂+…+2△x_n-1+△x_n，
∵n=2016是偶数，n＞100，
T_n=n△x₁+（n-1）△x₂+…+2△x_n-1+△x_n≤2[n+（n-1）+…+2+1]=n²+n，
当△y₁=△y₂=△y₃=…=△y₁₀₀=1，
△y₁₀₁=-1，…，△y_n-1=1，△y_n=-1，
△x₁=△x₂=△x₃=…=△x_n=2时，（取法不唯一）
（T_n）_max=n²+n，
∴x₀+x₁+x₂+…+x₂₀₁₆的最大值（T₂₀₁₆）_max=2016²+2016=4066272．

点评 本题考查点的坐标的求法，考查实数值的求法，考查数列的前2017项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质及构造法的合理运用．