题目内容
在△ABC中，AB边上的中线CO=2，若动点P满足
=（sin2θ）
+（cos2θ）
（θ∈R），则（
+
）•
的最小值是（ ）
| AP |
| AO |
| AC |
| PA |
| PB |
| PC |
| A、1 | B、-1 | C、-2 | D、0 |
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题,平面向量及应用
分析：由向量的线性运算法则和sin2θ+cos2θ=1，化简得
=cos2θ•
，所以点P是线段OC上的点，由此可得（
+
）•
=2
•
，则（
+
）•
表示为以|
|=t为自变量的二次函数式，利用二次函数的性质加以计算，可得所求最小值．
| OP |
| OC |
| PA |
| PB |
| PC |
| PO |
| PC |
| PA |
| PB |
| PC |
| PO |
解答：
解：∵
=（sin2θ）
+（cos2θ）
（θ∈R），
且sin2θ+cos2θ=1，
∴
=（1-cos2θ）
+（cos2θ）
=
+cos2θ•（
-
），
即
-
=cos2θ•（
-
），
可得
=cos2θ•
，
又∵cos2θ∈[0，1]，∴P在线段OC上，
由于AB边上的中线CO=2，
因此（
+
）•
=2
•
，设|
|=t，t∈[0，2]，
可得（
+
）•
=-2t（2-t）=2t2-4t=2（t-1）2-2，
∴当t=1时，（
+
）•
的最小值等于-2．
故选C．
| AP |
| AO |
| AC |
且sin2θ+cos2θ=1，
∴
| AP |
| AO |
| AC |
| AO |
| AC |
| AO |
即
| AP |
| AO |
| AC |
| AO |
可得
| OP |
| OC |
又∵cos2θ∈[0，1]，∴P在线段OC上，
由于AB边上的中线CO=2，
因此（
| PA |
| PB |
| PC |
| PO |
| PC |
| PO |
可得（
| PA |
| PB |
| PC |
∴当t=1时，（
| PA |
| PB |
| PC |
故选C．
点评：本题着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次函数的性质等知识，属于中档题．
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