Question

9．设a=${∫}_{0}^{π}$（sinx-1+2cos²$\frac{x}{2}$）dx，则（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶•（x²+2）的展开式中常数项是（　　）

• A． 332
• B． -332
• C． 320
• D． -320

Answer 1

分析 根据微积分基本定理求得a的值，求出二项式展开式的通项公式，分类讨论，当k=3时，当k=5时，即可求得展开式中的常数项的值．

解答 解：a=${∫}_{0}^{π}$（sinx-1+2cos²$\frac{x}{2}$）dx=a=${∫}_{0}^{π}$（sinx+cosx）dx=（-cosx+sinx）|${\;}_{0}^{π}$=-cosπ-（-cos0）=1+1=2，
（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶•（x²+2）=（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶•（x²+2），
其中（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的通项公式C₆^k2^6-k（-1）^kx^3-k，
当3-k=0，即k=3时，为常数项，为C₆³2³（-1）³=-160，
当3-k=-2时，即k=5时，为C₆⁵2^6-5（-1）⁵x^3-5=-12x^-2，
故（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶•（x²+2）的展开式中常数项是-160×2-12=-332，
故选：B．

点评 本题主要考查微积分基本定理，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．