Question

△ABC中，A为动点，B(-

1

2

，0)，C(

1

2

，0)，且满足sinC-sinB=

1

2

sinA，则动点A的轨迹方程是（　　）

• A、16x2-

  16

  3

  y2=1(y≠0)
• B、16y2-

  16

  3

  x2=1(x≠0)
• C、16x2-

  16

  3

  y2=1(x＜-

  1

  4

  )
• D、16x2-

  16

  3

  y2=1(x＞

  1

  4

  )

Answer 1

分析：由题设条件，根据正弦定理，可以得到AB-AC=

1

2

BC=

1

2

，也就是说A到定点B、C的距离之差是常数，所以A的轨迹是一条双曲线的右支，焦点为B、C，c=

1

2

，c-b=

1

2

=2a，a=

1

4

，由此能求出其轨迹方程．

解答：解：由sinC-sinB=

1

2

sinA，
根据正弦定理，可以得到AB-AC=

1

2

BC，
∵B(-

1

2

，0)，C(

1

2

，0)，
∴BC=1，所以AB-AC=

1

2

BC=

1

2

，
也就是说A到定点B、C的距离之差是常数，
所以A的轨迹是一条双曲线，焦点为B、C，
所以c=

1

2

，c-b=

1

2

=2a，所以a=

1

4

，
∵AB-AC=

1

2

BC=

1

2

，∴A的轨迹是双曲线的右支，
∴方程为16x²-

16

3

y2=1(x＞

1

4

)．
故选D．

点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．