Question

17．已知实数x，y满足-1≤x+y≤4且2≤x-y≤3，则不等式围成的区域面积为$\frac{5}{2}$，则2x-3y的取值范围是[3，8]．

Answer 1

分析 实数x，y满足-1≤x+y≤4且2≤x-y≤3，如图所示，求出矩形ABCD的顶点坐标可得面积，令2x-3y=t，则直线经过点A时，t取得最大值．直线经过点C时，t取得最小值．

解答 解：实数x，y满足-1≤x+y≤4且2≤x-y≤3，如图所示，
A（1，-2），B$（\frac{7}{2}，\frac{1}{2}）$，C（3，1），D$（\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}）$．
|AB|=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，|BC|=$\sqrt{（3-\frac{7}{2}）^{2}+（1-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
则不等式围成的区域面积=$\frac{5\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5}{2}$．
令2x-3y=t，则直线经过点A时，
t取得最大值t=2×1-3×（-2）=8．
直线经过点C时，t取得最小值t=2×3-3×1=3．
则2x-3y的取值范围是[3，8]．
故答案为：$\frac{5}{2}$，[3，8]．

点评 本题考查了线性规划、不等式的性质、方程的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．