Question

16．已知在数列{a_n}中，a_n+1=2a_n+3•2ⁿ⁺¹，且a₁=2，则数列{a_n}的通项公式为a_n=（3n-2）×2ⁿ．

Answer 1

分析 由a_n+1=2a_n+3•2ⁿ⁺¹，变形为$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=3，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+3•2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=3，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为3．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+3（n-1）=3n-2．
∴a_n=（3n-2）×2ⁿ．
故答案为：a_n=（3n-2）×2ⁿ．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．