题目内容
2．在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．（1）直线l过M且与曲线C相切，求直线l的极坐标方程；
（2）点N与点M关于y轴对称，求曲线C上的点到点N的距离的取值范围．
分析 （1）设直线l的方程为y=k（x-2）+2，圆曲线C的普通方程联立消元，令判别式等于0求出k，得出直角坐标方程，再转化为极坐标方程；
（2）求出N到圆心的距离，即可得出最值．
解答 解：（1）M的直角坐标为（2，2），曲线C的普通方程为（x-1）2+y2=4．
设直线l的方程为y=k（x-2）+2，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）+2}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1+k2）x2+（4k-4k2-2）x+4k2-8k+1=0，
∵直线l与曲线C相切，∴（4k-4k2-2）2-4（1+k2）（4k2-8k+1）=0，
解得k=0或k=-$\frac{4}{3}$．
∴直线l的方程为y=2或y=-$\frac{4}{3}$（x-2）+2，即4x+3y-14=0，
∴直线l的极坐标方程为ρsinθ=2或4ρcosθ+3ρsinθ-14=0．
（2）点N的坐标为N（-2，2），C（1，0）．
CN=$\sqrt{（-2-1）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，圆C的半径为2．
∴曲线C上的点到点N的距离最大值为$\sqrt{13}$+2，最小值为$\sqrt{13}$-2．
曲线C上的点到点N的距离的取值范围是[$\sqrt{13}$-2，$\sqrt{13}$+2]．
点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，点，直线与圆的位置关系，属于中档题．
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千里马走向假期期末仿真试卷寒假系列答案
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