Question

16．已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=2，且对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，则f（3）=0；f（2013）=0．

Answer 1

分析 根据f（x+6）=f（x）+f（3）需要令x=-3，代入求出f（-3）=0，由奇函数的定义求出f（3）=0，代入关系式求出此函数的周期，利用周期性即可求出f（2013）．

解答 解：由题意知，f（x+6）=f（x）+f（3），令x=-3，
∴f（3）=f（-3）+f（3），即f（-3）=0，
∵f（x）是R上的奇函数，∴f（3）=0，
故f（x+6）=f（x），
∴f（x）是周期为6的周期函数，
∴f（2013）=f（6×335+3）=f（3）=0，
故答案为：0，0．

点评 本题是一道抽象函数问题，题目的设计“小而巧”，解题的关键是巧妙的赋值，利用其奇偶性得到函数的周期性，再利用周期性求函数值．灵活的“赋值法”是解决抽象函数问题的基本方法，属于中档题．