在直角坐标系xOy中.曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$.以坐标原点为极点.x轴的正半轴为极轴.建立极坐标系.直线l的极坐标方程是$\sqrt{2}$ρsin=1．(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程,(2)设曲线C和直线l相交于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程是$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=1．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）设曲线C和直线l相交于点M，N，试求出过M，N两点的圆中面积最小的圆的标准方程．

分析（1）用x，y表示出cosθ，sinθ，利用cos²θ+sin²θ=1，得到曲线C的方程；把$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=1左侧展开，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$消参，得到直线的普通方程；
（2）面积最小时，MN为圆的直径，联立方程组消元，使用根与系数的关系求出MN的中点坐标和MN，即可得到最小圆的方程．

解答解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$得cosθ=$\frac{x}{2}$，sinθ=$\frac{y}{\sqrt{3}}$，∴曲线C的普通方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
∵$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=1，∴ρsinθ-ρcosθ-1=0，∴直线l的直角坐标方程是y-x-1=0．即x-y+1=0．
（2）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消元得7x²+8x-8=0．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$．∴y₁+y₂=x₁+x₂+2=$\frac{6}{7}$．∴MN的中点坐标为（-$\frac{4}{7}$，$\frac{3}{7}$），|AB|=$\sqrt{2}$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{24}{7}$．
当过M，N两点的圆中面积最小时，MN为圆的直径．
∴面积最小圆的标准方程为（x+$\frac{4}{7}$）²+（y-$\frac{3}{7}$）²=$\frac{144}{49}$．