Question

5．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁（底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱）中，底面边长AB=3，侧棱AA₁=4，AC₁与A₁C相交于点E，点D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥C₁D；
（Ⅱ）求证：AB∥平面ADC₁；
（Ⅲ）求三棱锥C-ABB₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AD⊥平面BCC₁B₁，即可证明AD⊥C₁D；
（Ⅱ）连接DE，则DE为△A₁BC的中位线，得到DE∥A₁B，从而得到AB∥平面ADC₁；
（Ⅲ）利用三棱锥C-ABB₁的体积=三棱锥A-CBB₁的体积，代入体积公式进行运算．

解答 （Ⅰ）证明：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴C₁C⊥平面ABC，
∵AD?平面ABC，
∴C₁C⊥AD，
∵点D是BC的中点，△ABC为正三角形，
∴AD⊥BC，
∵BC∩C₁C=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵DC₁?平面BCC₁B₁，
∴AD⊥C₁D；
（Ⅱ）证明：连接DE，
∵四边形A₁ACC₁为矩形，
∴E为A₁C的中点，
∵D为BD的中点，
∴ED∥A₁B，
∵A₁B?平面ADC₁，ED?平面ADC₁，
∴AB∥平面ADC₁；
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知AD⊥平面BCC₁B₁，
∵AD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，${S}_{△B{B}_{1}C}$=$\frac{1}{2}×3×4$=6，
∴三棱锥C-ABB₁的体积=三棱锥A-CBB₁的体积=$\frac{1}{3}×6×\frac{3\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查证明线线垂直、线面平行的方法，求三棱锥的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．