题目内容
中国•湖南第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年10月20日在长沙举行，为了搞好接待工作，组委会准备在理工学院和师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
分析：（1）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，从而可得5人中“高个子”为2人，“非高个子”为3人，从而可求至少有1人为高个子的概率；
（2）确定ξ的可能取值，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．
（2）确定ξ的可能取值，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．
解答：解：（1）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，
∴按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为5×
=2人，“非高个子”为5×
=3人，
则至少有1人为高个子的概率P=1-
=
．
（3）由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，则ξ的可能取值为0，1，2，3；
故P（ξ=0）=
=
，
P（ξ=1
=
，
P（ξ=2）=
=
，
P（ξ=3）=
=
，
∴ξ的分布列为：
Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
．
∴按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为5×
| 8 |
| 20 |
| 12 |
| 20 |
则至少有1人为高个子的概率P=1-
| ||
|
| 7 |
| 10 |
（3）由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，则ξ的可能取值为0，1，2，3；
故P（ξ=0）=
| ||
|
| 10 |
| 56 |
P（ξ=1
| ||||
|
| 30 |
| 56 |
P（ξ=2）=
| ||||
|
| 15 |
| 56 |
P（ξ=3）=
| ||
|
| 1 |
| 56 |
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 10 |
| 56 |
| 30 |
| 56 |
| 15 |
| 56 |
| 1 |
| 56 |
| 9 |
| 8 |
点评：本题考查茎叶图，考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．
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