Question

18．已知命题P：方程x²+mx+1=0有两个不等的负实根．命题Q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根．若“P或Q”为真，“P且Q”为假，则实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 利用一元二次方程的实数根与判别式的关系、不等式的解法可得命题P与Q的m的取值范围，再由“P或Q”为真，“P且Q”为假，可得P与Q必然一个为真一个为假．即可得出．

解答 解：命题P：方程x²+mx+1=0有两个不等的负实根．
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4＞0}\\{-m＜0}\end{array}\right.$，解得m＞2．
命题Q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根．△=16（m-2）²-16＜0，解得：1＜m＜3．
若“P或Q”为真，“P且Q”为假，
∴P与Q必然一个为真一个为假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≤1或m≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{1＜m＜3}\end{array}\right.$，
解得1＜m≤2，或m≥3．
则实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．
故答案为：（1，2]∪[3，+∞）．

点评 本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．