题目内容

已知向量
α
=（
3
cosx+
3
sinx，cosx），
β
=（cosx-sinx，2sinx），f（x）=
α
•
β
．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）a，b，c分别△ABC的三内角A，B，C的对应边，且f（A）=-
3
，b=2c，a=2
5
，求S△ABC．
分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简f（x）的解析式为2sin（2A+
π
3
），由此求得最小正周期．由
2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
(k∈Z) 
，求得f（x）单调区间．
（2）由f（A）=-
3
 解得sin（2A+
π
3
）=-
3
2
．再由A的范围可得2A+
π
3
=
4π
3
 或2A+
π
3
=
5π
3
，从而求出A的值，
再由余弦定理求出c的值，代入S△ABC=
1
2
bc•sinA运算求得结果．
解答：解：（1）f（x）=
α
•
β
=（
3
cosx+
3
sinx）（cosx-sinx）+cosx2sinx
=
3
(cos2x-sin2x)+2sinxcosx=sin2x+
3
cos2x=2sin(2x+
π
3
)
，
故最小正周期T=
2π
2
=π．
令
2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
(k∈Z) 
，解得
kπ-
5π
12
≤x≤kπ+
π
12
，k∈Z．
故f（x）单调区间为[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
]（k∈Z）．
（2）由f（A）=-
3
，可得 2sin（2A+
π
3
）=-
3
，sin（2A+
π
3
）=-
3
2
．
由于 0＜A＜π，∴
π
3
＜2A+
π
3
＜
7π
3
，∴2A+
π
3
=
4π
3
 或2A+
π
3
=
5π
3
．
解得 A=
π
2
 或A=
2π
3
．
当 A=
π
2
 时，由勾股定理可得 20=b2+c2=5c2，∴c=2，故S△ABC=
1
2
×2×4=4．
当 A=
2π
3
 时，由余弦定理可得 20=b2+c2-2bc•cos
2π
3
=7c2，
故 S△ABC=
1
2
bc•sin
2π
3
=
3
2
c2=
10
3
7
．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的周期性和单调性，余弦定理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(
3
cosx-
3
，sinx)，
b
=(1+cosx，cosx)，设f(x)=
a
•
b
．
（1）求f(
25π
6
)的值；
（2）当x∈[-
π
3
，
π
6
]时，求函数f（x）的值域．
已知向量
m
=(2，-
3
cosx)，
n
=(cos2x，2sinx)，函数f(x)=
m
•
n
-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f(x)在区间[-
π
3
，
π
6
]上的值域．
已知向量
a
=(
3
cosx-
3
，sinx)，
b
=(1+cosx，cosx)，设f(x)=
a
•
b
．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[-
π
3
，
π
6
]时，求函数f（x）的值域；
（3）求f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．
已知向量
a
=(
3
cosx-
3
，sinx)，
b
=(1+cosx，cosx)，设f(x)=
a
•
b
．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[-
π
3
，
π
6
]时，求函数f（x）的值域；
（3）求f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．

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