题目内容
4．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，且f（x）在x=-1，x=3处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间及极值；
（2）若函数y=f（x）与y=m的图象有且仅有一个公共点，求实数m的取值范围．
分析 （1）求出函数的导数，得到x=-1，x=3是方程f′（x）=0的根，求出a，b的值，从而求出函数的单调区间和极值即可；
（2）根据函数的极值求出m的范围即可．
解答 解：（1）函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，
故f（x）=x3+ax2+bx，f′（x）=3x2+2ax+b，
且f（x）在x=-1，x=3处取得极值，
则x=-1，x=3是方程f′（x）=0的根，
故$\left\{\begin{array}{l}{-1+3=-\frac{2a}{3}}\\{-1×3=\frac{b}{3}}\end{array}\right.$，解得：a=-3，b=-9，
f（x）=x3-3x2-9x，f′（x）=3x2-6x-9=3（x-3）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
故f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，3）递减，在（3，+∞）递增，
故f（x）极大值=f（-1）=5，f（x）极小值=f（3）=-27；
（2）若函数y=f（x）与y=m的图象有且仅有一个公共点，
由（1）得：m＞5或m＜-27．
点评 本题考查了求函数的单调区间和极值问题，考查函数图象的交点问题，是一道中档题．
练习册系列答案
冲刺100分单元优化练考卷系列答案
相关题目
3．在2015年春节期间，某商场对销售的某商品一天的投放量x及其销量y进行调查，发现投放量x和销售量y之间的一组数据如表所示：
通过分析，发现销售量y对投放量x具有线性相关关系．
（Ⅰ）求销售量y对投放量x的回归直线方程；
（Ⅱ）欲使销售量为8，则投放量应定为多少．（保留小数点后一位数）
| 投放量x | 6 | 8 | 10 | 12 |
| 销售量y | 2 | 3 | 5 | 6 |
（Ⅰ）求销售量y对投放量x的回归直线方程；
（Ⅱ）欲使销售量为8，则投放量应定为多少．（保留小数点后一位数）
7．圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为$\sqrt{2}$的点有（ ）
| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |
9．
已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如表：
f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：
下列关于函数f（x）的命题：
①函数y=f（x）是周期函数；
②函数f（x）在[0，2]是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点．
⑤函数y=f（x）-a的零点个数可能为0，1，2，3，4．
其中正确命题的个数是（ ）
已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如表：| x | -1 | 0 | 4 | 5 |
| f（x） | 1 | 2 | 2 | 1 |
下列关于函数f（x）的命题：
①函数y=f（x）是周期函数；
②函数f（x）在[0，2]是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点．
⑤函数y=f（x）-a的零点个数可能为0，1，2，3，4．
其中正确命题的个数是（ ）
| A． | 3 | B． | 2 | C． | 1 | D． | 0 |
16．已知函数f（x）=e|x|+x2，且f（3a-2）＞f（a-1），则实数a的取值范围为（ ）
| A． | （0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{3}{4}$，+∞） | B． | （-∞，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{3}{4}$，+∞） | C． | （$\frac{1}{2}$，+∞） | D． | （-∞，$\frac{1}{2}$） |
如图，正四棱锥P-ABCD中底面边长为2$\sqrt{2}$，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．