题目内容

20．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD为矩形，A（1，0），B（2，0），C（2，$\sqrt{6}$），又A1（-1，0）．点M在直线CD上，点N在直线BC上，且$\overrightarrow{DM}$=λ$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BN}$=λ$\overrightarrow{BC}$（λ∈R）．
（1）求直线AM与A1N的交点Q的轨迹S的方程；
（2）过点P（1，1）能否作一条直线l，与曲线S交于E、F两点，且点P是线段EF的中点．

分析 （1）由题意M（$\frac{1+2λ}{1+λ}$，$\sqrt{6}$），N（2，$\frac{\sqrt{6}λ}{1+λ}$），求出直线AM、直线A1N的方程，消去参数，即可求直线AM与A1N的交点Q的轨迹S的方程；
（2）设点A（x1，y1），点B（x2，y2），得到2x12-y12=2 ①，2x22-y22=2 ②然后，①-②并结合有关中点坐标公式求解．

解答 解：（1）由题意M（$\frac{1+2λ}{1+λ}$，$\sqrt{6}$），N（2，$\frac{\sqrt{6}λ}{1+λ}$），
∴直线AM的方程为y-0=$\frac{\sqrt{6}（1+λ）}{λ}$（x-1），直线A1N的方程为y-0=$\frac{\sqrt{6}λ}{3（1+λ）}$（x+1），
两式相乘可得y2=2（x2-1），即x2-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），直线的斜率为k，
则2x12-y12=2 ①
2x22-y22=2 ②
①-②得2（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）=0，
∴2×2-2k=0，
∴k=2，
∴y-1=2（x-1），
∴直线l的方程为2x-y-1=0，
y=2x-1，代入x2-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，整理可得x2-2x+2=0，△＜0，∴直线l不存在．

点评 本题重点考查了双曲线的方程、直线与双曲线的位置关系、中点弦问题等知识，处理中点弦问题时，常常采用“点差法”进行处理．

练习册系列答案
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