Question

2．已知向量：$\overrightarrow{a}$=（cosα，2sinα），$\overrightarrow{b}$=（2cosβ，-sinβ），α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-$\frac{10}{13}$，求cos（α+β）的值；
（2）若$\overrightarrow{c}$=（0，1），求|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用向量的数量积的坐标表示和两角和的余弦公式，计算即可得到所求值；
（2）运用向量的模的公式，结合同角的平方关系和配方法，由正弦函数的性质，即可得到所求范围．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（cosα，2sinα），$\overrightarrow{b}$=（2cosβ，-sinβ），α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，
可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2cosαcosβ-2sinαsinβ=2cos（α+β）=-$\frac{10}{13}$，
解得cos（α+β）=-$\frac{5}{13}$；
（2）由$\overrightarrow{a}$=（cosα，2sinα），$\overrightarrow{c}$=（0，1），
可得|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{co{s}^{2}α+（1-2sinα）^{2}}$
=$\sqrt{co{s}^{2}α+1-4sinα+4si{n}^{2}α}$=$\sqrt{3si{n}^{2}α-4sinα+2}$
=$\sqrt{3（sinα-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{2}{3}}$，
由α∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得sinα∈[0，1]，
当sinα=$\frac{2}{3}$时，取得最小值$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
当α=0时，|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{2}$；当α=$\frac{π}{2}$时，|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$|=1．
则|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$|的最大值为$\sqrt{2}$．
即有|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$|的取值范围是[$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和向量的模的求法，考查三角函数的恒等变换和求值，考查正弦函数的性质的运用，化简整理的运算能力，属于中档题．