Question

已知函数f（x）的值域是[-

3

8

，-

7

32

]，则函数g(x)=1-f(x)+

1+2f(x)

的值域是

[

15

8

，

63

32

]

．

Answer 1

分析：根据题意设t=

1+2f(x)

，再求出f(x)=

t2-1

2

，再由f（x）的范围求出t，代入g（x）后进行配方，再判断出函数的单调性，求出在区间上的最大值和最小值．

解答：解：由题意设t=

1+2f(x)

，则f(x)=

t2-1

2

，
∵f(x)∈[-

3

8

，-

7

32

]，∴t∈[

1

2

，

3

4

]，
则g(x)=1-f(x)+

1+2f(x)

变为：
y=

1

2

(-t2+2t+3)=

1

2

[-(t-1)2+4]，
∴当t∈[

1

2

，

3

4

]时，函数y在[

1

2

，

3

4

]上递增，
当t=

1

2

时，函数y取得最小值是

15

8

；
当t=

3

4

时，函数y取得最大值是

63

32

，
则所求的函数的值域是[

15

8

，

63

32

]，
故答案为：[

15

8

，

63

32

]．

点评：本题考查了二次函数性质的应用，利用换元法求函数的值域，注意换元后要求出它的范围，即为还原后对应函数的定义域．