Question

已知椭圆，过右焦点F斜率为的直线与椭圆C交于A、B两点，若，则椭圆C的离心率为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：设 =3m，=m，故|AB|=4m．由椭圆的第二定义可得|AD|=，|BC|=，求得|AE|=．
由AB的斜率tan∠BAE=，可得cos∠BAE 的值，再由cos∠BAE= 求出e的值．
解答：如图所示：过点A作AD垂直于右准线，垂足为D；过点B作BC垂直于右准线，垂足为C；
过点B作BE垂直于AD，垂足为E．
因为 ，可设 =3m，=m，故|AB|=4m．
由椭圆的第二定义可得|AD|=，|BC|=，|AE|=|AD|-|ED|=|AD|-|BC|=．
由于直线AB的斜率等于，∴tan∠BAE=，∴cos∠BAE=．
直角三角形ABE中，cos∠BAE====，解得离心率e=，
故选：D．

点评：本题考查椭圆的第二定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，直角三角形中的边角关系，体现了数形
结合的数学思想，属于中档题．