Question

现有甲、乙两个口袋，甲袋装有2个红球和2个白球，乙袋装有2个红球和n个白球，某人从甲、乙两个口袋中等可能性地各取2个球．
（1）若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；
（2）若取到的4个球中至少有2个红球的概率为

3

4

，求n的值．

Answer 1

分析：（1）直接利用相互独立事件的概率乘法公式求出所求的概率为P1=

C 2 2

C 2 4

×

C 2 2

C 2 5

，运算求出结果．
（2）当n≥2时，先求出没有红球的概率，再求出只有一个红球的概率，由题意可得，把这两个概率值相加等于

1

4

，由此求出n的值．当n=1时，经检验不合适．

解答：解：（1）所求的概率P1=

C 2 2

C 2 4

×

C 2 2

C 2 5

=

1

60

．
（2）记“取到的4个球中至少有2个红球”为事件A，则P(

.

A

)=1-P(A)=1-

3

4

=

1

4

．
又∵当n≥2时，没有红球的概率为

C 2 2

C 2 4

×

C 2 n

C 2 n+2

，只有一个红球的概率为

C 1 2 C 1 2

C 2 4

×

C 2 n

C 2 n+2

+

C 2 2

C 2 4

×

C 1 2 C 1 n

C 2 n+2

，
∴P(

.

A

)=

1

4

=

C 2 2

C 2 4

×

C 2 n

C 2 n+2

+

C 1 2 C 1 2

C 2 4

×

C 2 n

C 2 n+2

+

C 2 2

C 2 4

×

C 1 2 C 1 n

C 2 n+2

 
=

5n(n-1)+4n

6(n+2)(n+1)

=

5n2-n

6(n+2)(n+1)

，化简得7n²-11n-6=0，
∴（7n+3）（n-2）=0．又∵n∈N^*，且n≥2，∴n=2．
当n=1时，P(

.

A

)=

C 2 2 C 1 2 C 1 1

C 2 4 C 2 3

=

1

9

≠

1

4

，∴n≠1．
综上，得n=2．

点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，概率的基本性质，所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率，属于中档题．