Question

2．已知函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$），g（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$），则下列结论中正确的是（　　）

• A． 函数y=f（x）•g（x）的最小正周期为2π
• B． 函数y=f（x）•g（x）的最大值为1
• C． 函数y=f（x）•g（x）的一个单调递增区间为（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$）
• D． f（x）与g（x）的奇偶性相同

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数 y=f（x）•g（x）的解析式，再利用正弦函数的奇偶性、周期性、单调性、最值，得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx 为偶函数，g（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$）=sinx为奇函数，
∴y=f（x）•g（x）=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x，
故函数y=f（x）•g（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，它的最大值为$\frac{1}{2}$，它为奇函数，故排除A、B、D．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，故它的增区间为[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z，
令k=0，可得它的一个增区间为[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，故C正确，
故选：C．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的奇偶性、周期性、单调性、最值，属于中档题．