Question

设y=(log2x)2+（t-2）log₂x-t+1，若t在[-2，2]上变化时，y恒取正值，则x的取值范围是

（0，

1

2

）∪（8，+∞）

．

Answer 1

分析：构造函数f（t）=（log₂x-1）t+（log₂x）²-2log₂x+1，根据t∈[-2，2]时，f（t）恒为正值，可得f（-2）＞0，f（2）＞0，即可得到不等式，由此可确定x的取值范围．

解答：解：构造函数f（t）=（log₂x-1）t+（log₂x）²-2log₂x+1，
∵t∈[-2，2]时，f（t）恒为正值，
∴f（-2）＞0，f（2）＞0
∴-2（log₂x-1）+（log₂x）²-2log₂x+1＞0，2（log₂x-1）+（log₂x）²-2log₂x+1＞0
∴（log₂x）²-4log₂x+3＞0，（log₂x）²-1＞0
∴log₂x＜-1或log₂x＞3，
即0＜x＜

1

2

或x＞8．
故答案为：（0，

1

2

）∪（8，+∞）

点评：本题考查复合函数的单调性，解题的关键是变换主元，构建新函数，属于中档题．