Question

17．已知f（x）=ln（x+1）-$\frac{ax}{x+1}$（a∈R）．
（1）求证：a≤1且x≥0时，f（x）≥0恒成立；
（2）设正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n=ln（a_n-1+1）（n≥2），求证：$\frac{1}{n}$≤a_n≤$\frac{3}{n+2}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论；
（2）a=1时，$ln（x+1）≥\frac{x}{x+1}$在[0，+∞）内恒成立，$ln（x+1）≤\frac{3x}{x+3}$在[0，3）内恒成立，由a₁=1及a_n=ln（a_n-1+1）（n≥2）知0＜a_n≤1，根据数学归纳法证明即可．

解答 证明：（1）$f'（x）=\frac{1}{x+1}-\frac{a}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{x+1-a}{{{{（x+1）}^2}}}$…（1分）；
当a≤1，x≥0时，f'（x）≥0恒成立                       …（2分）；
此时函数f（x）在（0，+∞）内单调递增                       …（3分）；
所以f（x）≥f（0）=0，得证                              …（4分）；
（2）由（1）可知a=1时，$ln（x+1）≥\frac{x}{x+1}$在[0，+∞）内恒成立       …（6分）；
同理可证：$ln（x+1）≤\frac{3x}{x+3}$在[0，3）内恒成立                  …（7分）；
由a₁=1及a_n=ln（a_n-1+1）（n≥2）知0＜a_n≤1…（8分）
下面用数学归纳法证明：
当n=1时，$\frac{1}{1}≤{a_1}=1≤\frac{3}{1+2}$，结论成立                    …（9分）；
设当n=k时结论成立，即$\frac{1}{k}≤{a_k}≤\frac{3}{k+2}$
那么当n=k+1时，${a_{k+1}}=ln（{a_k}+1）≥\frac{a_k}{{{a_k}+1}}≥\frac{{\frac{1}{k}}}{{\frac{1}{k}+1}}=\frac{1}{k+1}$…（10分）
${a_{k+1}}=ln（{a_k}+1）≤\frac{{3{a_k}}}{{{a_k}+3}}≤\frac{{\frac{3}{k+2}}}{{\frac{3}{k+2}+3}}=\frac{1}{k+3}＜\frac{3}{（k+1）+2}$…（11分）
即当n=k+1时有$\frac{1}{k+1}≤{a_{k+1}}≤\frac{3}{（k+1）+2}$，结论成立，
由此可知对任意n∈N^*结论都成立，原不等式得证．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，数学归纳法的应用，是一道综合题．