Question

7．等差数列{a_n}中的a₂、a₄₀₃₀是函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-1$的两个极值点，则log₂（a₂₀₁₆）=（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 求函数的导数，由题意可得a₂、a₄₀₃₀是对应方程的实根，由韦达定理可得a₂+a₄₀₃₀的值，然后由等差数列的性质可得a₂₀₁₆的值，代入化简即可．

解答 解：∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-1$，
∴f′（x）=x²-8x+6，
∵等差数列{a_n}中的a₂、a₄₀₃₀是函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-1$的两个极值点，
∴a₂+a₄₀₃₀=8，∴${a}_{2016}=\frac{1}{2}（{a}_{2}+{a}_{4030}）=\frac{1}{2}×8=4$，
∴log₂（a₂₀₁₆）=log₂4=2．
故选：A．

点评 本题考查等差数列的性质和韦达定理，属基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、导数知识的合理运用．