题目内容
17．数列{xn}满足：x1=$\frac{1}{3}$，xn+1=x${\;}_{n}^{2}$+xn，则下述和数$\frac{1}{{1+{x_1}}}+\frac{1}{{1+{x_2}}}+\frac{1}{{1+{x_3}}}+…\frac{1}{{1+{x_{2016}}}}$的整数部分的值为（ ）| A． | 0 | B． | 1 | C． | 2 | D． | 3 |
分析 由x1=$\frac{1}{3}$，xn+1=xn2+xn，可得$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=xn+1＞1，因此数列{xn}单调递增，可得x4=$\frac{52}{81}$×$（\frac{52}{81}+1）$＞1，于是当n≥4时，xn＞1，0＜1-$\frac{1}{{x}_{2017}}$＜1．由xn+1=xn2+xn，可得$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$=$\frac{1}{{x}_{n}+1}$．利用“裂项求和”方法即可得出．
解答 解：由x1=$\frac{1}{3}$，xn+1=xn2+xn，可得$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=xn+1＞1，
∴数列{xn}单调递增，可得x2=$\frac{4}{9}$，x3=$\frac{52}{81}$，x4=$\frac{52}{81}$×$（\frac{52}{81}+1）$＞1，
∴当n≥4时，xn＞1．
∴0＜1-$\frac{1}{{x}_{2017}}$＜1．
∵xn+1=xn2+xn，∴$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$=$\frac{1}{{x}_{n}+1}$．
∴和数$\frac{1}{{1+{x_1}}}+\frac{1}{{1+{x_2}}}+\frac{1}{{1+{x_3}}}+…\frac{1}{{1+{x_{2016}}}}$=$（\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}）$+$（\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{x}_{2016}}-\frac{1}{{x}_{2017}}）$=3-$\frac{1}{{x}_{2017}}$=2+1-$\frac{1}{{x}_{2017}}$的整数部分的值为2．
故选：C．
点评 本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法、数列单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
走进文言文系列答案| A． | a＜c＜b | B． | c＜a＜b | C． | b＜c＜a | D． | c＜b＜a |
| A． | “p∧q”为真 | B． | “p∨q”为假 | C． | p真q假 | D． | p假q真 |
| 星期x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 需求量y（单位：kg） | 236 | 246 | 257 | 276 | 286 |
| 时间代号t | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| z | -21 | -11 | 0 | 19 | 29 |
（2）通过（1）中的方程，求y关于x的回归方程；
（3）利用（2）中所求出的回归方程预测该校星期日的大米需求量．
（附：线性回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$中，$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline{xy}}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{x^{-2}}}}}，\hat a=\overline y-b\overline x$）
如图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况画出的茎叶图．则甲、乙两名运动员成绩比较（ ）| A． | 甲比乙稳定 | B． | 乙比甲稳定 | ||
| C． | 甲、乙稳定程度相同 | D． | 无法确定 |