Question

在直三棱柱ABC -A1B1C1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在棱AB上．

（Ⅰ）若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；

（Ⅱ）当时，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

解: （Ⅰ） 证明：连结BC1，交B1C于E，连接DE．

因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，

所以 侧面B B1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，所以 DE// AC1．

因为 DE平面B1CD， AC1平面B1CD，所以 AC1∥平面B1CD．……… 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥BC，如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．

 

则B （3, 0, 0），A （0, 4, 0），A1 （0, 4, 4），B1 （3, 0, 4）．设D （a, b, 0）（，），因为 点D在线段AB上，且，即．

 

所以，，，, ,．

平面BCD的法向量为．设平面B1 CD的法向量为，

由，， 得 ，

所以 ，，．所以  ．

所以二面角的余弦值为．……… 12分