Question

已知△ABC的顶点A（0，1），AB边上的中线CD所在的直线方程为2x-2y-1=0，AC边上的高BH所在直线的方程为y=0．
（1）求△ABC的顶点B、C的坐标；
（2）若圆M经过不同的三点A、B、P（m，0），且斜率为1的直线与圆M相切于点P，求圆M的方程．

Answer 1

分析：（1）由AC边上的高BH所在直线的方程为y=0即x轴，得到AC边所在直线的方程为x=0即y轴，把x=0与2x-2y-1=0联立即可求出C的坐标，因为点B在x轴上，可设B的坐标为（b，0）利用中点坐标公式求出AB的中点D的坐标，把D的坐标代入到中线CD的方程中即可求出b的值，得到B的坐标；
（2）根据A和B的坐标求出线段AB的垂直平分线方程，根据B和P的坐标求出线段BP的垂直平分线方程，设出圆心M的坐标，代入AB垂直平分线方程得到①，然后根据斜率为1的方程与圆相切，利用两直线垂直时斜率乘积为-1得到直线MP的斜率为-1，根据M和P的坐标表示出直线MP的斜率让其等于-1得到②，联立①②即可求出圆心M的坐标，然后利用两点间的距离公式求出线段MA的长度即为圆的半径，根据所求的圆心M和半径写出圆的方程即可．

解答：解：（1）AC边上的高BH所在直线的方程为y=0，所以直线AC的方程为：x=0，
又直线CD的方程为：2x-2y-1=0，联立得

x=0 2x-2y-1=0

解得

x=0 y=- 1 2

，所以C(0，-

1

2

)，
设B（b，0），则AB的中点D(

b

2

，

1

2

)，代入方程2x-2y-1=0，解得b=2，所以B（2，0）；
（2）由A（0，1），B（2，0）可得，圆M的弦AB的中垂线方程为4x-2y-3=0，
注意到BP也是圆M的弦，所以，圆心在直线x=

m+2

2

上，
设圆心M坐标为(

m+2

2

，n)，
因为圆心M在直线4x-2y-3=0上，所以2m-2n+1=0①，
又因为斜率为1的直线与圆M相切于点P，所以k_MP=-1，
即

n

m+2 2 -m

=-1，整理得m-2n-2=0②，
由①②解得m=-3，n=-

5

2

，
所以，圆心M(-

1

2

，-

5

2

)，半径MA=

1 4 + 49 4

=

50

2

，
则所求圆方程为(x+

1

2

)2+(y+

5

2

)2=

50

4

，化简得x²+y²+x+5y-6=0．

点评：此题考查学生掌握三角形的中线所在直线的方程及高所在直线的方程的求法与应用，掌握两直线垂直时斜率满足的关系，掌握直线与圆相切时满足的条件，灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．