Question

14．已知等差数列{a_n}的首项和公差都为2，且a₁、a₈分别为等比数列{b_n}的第一、第四项．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{4}{{（{{log}_2}{b_{n+1}}）{a_n}}}$，求{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等差数列通项公式可知：a_n=2+（n-1）2=2n，分别求得a₁和a₈，则由等比数列性质可知：${q^3}=\frac{b_4}{b_1}=8$，根据等比数列通项公式求得{b_n}的通项公式；
（2）由（1）${c_n}=\frac{4}{{（{{log}_2}{b_{n+1}}）{a_n}}}=\frac{2}{n•（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，采用“裂项法”即可求得数列{c_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）由等差数列通项公式可知：a_n=2+（n-1）2=2n，
当n=1时，2b₁=a₁=2，b₄=a₈=16，…3
设等比数列{b_n}的公比为q，则${q^3}=\frac{b_4}{b_1}=8$，…4
∴q=2，…5
∴${b_n}={2^n}$      …6
（2）由（1）可知：log₂b_n+1=n…7
∴${c_n}=\frac{4}{{（{{log}_2}{b_{n+1}}）{a_n}}}=\frac{2}{n•（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$…9
∴${S_n}=2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$，
∴{c_n}的前n项和S_n，S_n=$\frac{2n}{n+1}$．…12

点评 本题考查等比数列及等差数列通项公式，等比数列性质，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．