Question

13．已知动点P与双曲线$\frac{y^2}{9}$-$\frac{x^2}{16}$=1的两个焦点F₁，F₂所连线段的和为6$\sqrt{5}$，
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=0，求点P的坐标；
（3）求角∠F₁PF₂余弦值的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接利用椭圆的定义，动点到两定点的距离等于2a（a＞c）；
（2）直接利用向量坐标乘积，求出P的坐标；
（3）利用解三角形余弦定理公式与不等式关系可求出最小值；

解答 解：双曲线$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$ 的两个焦点为F₁（0，5），F₂（0，-5）；
（1）PF₁+PF₂=$6\sqrt{5}$故动点P的轨迹是椭圆；
轨迹方程是  $\frac{y^2}{45}+\frac{x^2}{20}=1$；
（2）由$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$ 得：PF₁⊥PF₂；
设P（x，y），则$\frac{y-5}{x}•\frac{y+5}{x}=-1$；
又  $\frac{y^2}{45}+\frac{x^2}{20}=1$；
解得：P（4，3），P（4，-3），P（-4，3），P（-4，-3）；
（3）△PF₁F₂ 中，cos∠F₁PF₂=$\frac{{P{F_1}^2+P{F_2}^2-{F_1}{F_2}^2}}{{2P{F_1}•P{F_2}}}$；
PF₁+PF₂=$6\sqrt{5}$，F₁F₂=10，又$\frac{{P{F_1}+P{F_2}}}{2}≥\sqrt{P{F_1}•P{F_2}}$；
∴$cos∠{F_1}P{F_2}=\frac{{{{（6\sqrt{5}）}^2}-2P{F_1}•P{F_2}-{{10}^2}}}{{2P{F_1}•P{F_2}}}≥-\frac{1}{9}$

点评 本题主要考查了椭圆定义、双曲线基本性质，向量运算以及余弦定理等知识点，属中等题．