Question

7．如图，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-2$\sqrt{3}$，0），上下顶点分别为A，B，已知△AFB是等边三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

Answer 1

分析 （1）利用左焦点为F（-2$\sqrt{3}$，0），上下顶点分别为A，B，△AFB是等边三角形，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_M，y_M），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K_OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

解答 解：（1）由题意，c=2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$b=c，
∴b=2
∴a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=4
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
证明：（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_M，y_M），
把直线y=kx+b代入$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$可得（4k²+1）x²+8kbx+4b²-16=0，
故x_M=$\frac{1}{2}$ （x₁+x₂）=$\frac{-4kb}{4{k}^{2}+1}$，y_M=kx_M+b=$\frac{b}{4{k}^{2}+1}$，
于是在OM的斜率为：K_OM=$\frac{\frac{b}{4{k}^{2}+1}}{\frac{-4kb}{4{k}^{2}+1}}$=-$\frac{1}{4k}$，
即K_OM•k=-$\frac{1}{4}$．
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值

点评 本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．