Question

附加题必做题如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设AD=1，D₁D=λ（λ＞0），若棱C₁C上存在点P满足A₁P⊥平面PBD，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：先以D为原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，其中P点的坐标要设出来，再利用线面垂直的定义，由

A1P

•

BP

=0，得关于λ的等式，求其范围即可

解答：解：如图，以点D为原点O，DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴建立
空间直角坐标系O-xyz，则D（0，0，0），B（1，1，0），A₁（1，0，λ），
设P（0，1，x），其中x∈[0，λ]，
则

BP

=（-1，0，x），

A1P

=（-1，1，x-λ）
因为A₁P⊥平面PBD，所以A₁P⊥PB
所以

A1P

•

BP

=0，
即（-1，1，x-λ）•（-1，0，x）=0，
化简得x²-λx+1=0，x∈[0，λ]，
故判别式△=λ²-4≥0，且λ＞0，
解得λ≥2．

点评：本题考查了利用空间向量和空间直角坐标系解决线面垂直和点的存在性问题的方法．