Question

7．已知函数f（x）=|2x+1|-|x-a|（a＞0）．
（1）当a=4时，解关于x的不等式f（x）＞2；
（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形的面积为6，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）将a=4代入f（x），通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；
（2）求出f（x）的分段函数，结合函数图象求出A、B、C的坐标，表示出△ABC的面积，求出A的值即可．

解答 解：（1）a=4时，由|2x+1|-|x-4|＞2得：
①x≤-$\frac{1}{2}$时，-x-5＞2，解得：x＜-7，
②-$\frac{1}{2}$＜x＜4时，3x-3＞2，解得：4＞x＞$\frac{5}{3}$，
③x≥4时，x+5＞2，解得：x＞-3，故x≥4，
综上，不等式的解集是（-∞，-7）∪（$\frac{5}{3}$，+∞）；
（2）由题意得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-1-a，（x＜-\frac{1}{2}）}\\{3x+1-a，（-\frac{1}{2}≤x≤a）}\\{x+1+a，（x＞a）}\end{array}\right.$，
∵a＞0，∴f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$-a＜0，
f（a）=2a+1＞0，
如图示：

其中A（-1-a，0），B（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$-a），C（$\frac{a-1}{3}$，0），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$[$\frac{a-1}{3}$-（-1-a）]•（$\frac{1}{2}$+a）=$\frac{1}{6}$（2a+1）²，
∴$\frac{1}{6}$（2a+1）²=6，解得：a=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，考查分类讨论、数形结合思想，是一道中档题．