Question

13．在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．
（1）已知AB=BC，AF=CF，求证：AC⊥平面BEF；
（2）已知G、H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．

Answer 1

分析 （1）如图连结DF，证明DF⊥AC，BD⊥AC．推出AC⊥平面BDEF，即可证明AC⊥平面BEF．
（2）设FC的中点为I，连接GI，HI．证明GI∥EF．GI∥DB．证明HI∥BC．即可证明GHI∥平面ABC．然后证明GH∥平面ABC．

解答 证明：（1）∵EF∥DB，∴EF与DB确定平面BDEF．
如图①，连结DF．∵AF=CF，D是AC的中点，∴DF⊥AC．同理可得BD⊥AC．
又BD∩DF=D，BD、DF?平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF，即AC⊥平面BEF．
（2）如图②，设FC的中点为I，连接GI，HI．
在△CEF中，∵G分别是EC的中点，∴GI∥EF．
又EF∥DB，∴GI∥DB．
在△CFB中，∵H分别是FB的中点，∴HI∥BC．
又HI∩GI=I，∴平面GHI∥平面ABC．
∵GH?平面GHI，∴GH∥平面ABC．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．