Question

5．已知函数f（x）=（1-ax）1n（1+x）-x．
（1）当a=-1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）对任意的x∈（0，1]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），代入切线方程即可；
（2）问题转化为a≤$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{ln（1+x）}$在x∈（0，1]恒成立，令g（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{ln（1+x）}$，x∈（0，1]，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=-1时，f（x）=（1+x）ln（1+x）-x，
f′（x）=ln（1+x），f′（1）=ln2，f（1）=2ln2-1，
故切线方程是：y-（2ln2-1）=ln2（x-1），
整理得：ln2•x-y+ln2-1=0；
（2）对任意的x∈（0，1]，f（x）≥0恒成立，
即a≤$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{ln（1+x）}$在x∈（0，1]恒成立，
令g（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{ln（1+x）}$，x∈（0，1]，
g′（x）=$\frac{{x}^{2}-（1+x{）ln}^{2}（1+x）}{{x}^{2}（1+x{）ln}^{2}（1+x）}$，x∈（0，1]，
令h（x）=x²-（1+x）ln²（1+x），
h′（x）=2x-ln（1+x）[ln（1+x）+2]＞0在（0，1]恒成立，
∴h（x）在（0，1]递增，而h（x）≤h（1）≈0，
∴g′（x）＜0在（0，1]恒成立，即g（x）在（0，1]递减，
∴g（x）_min=g（1）=1-$\frac{1}{ln2}$，
∴a≤1-$\frac{1}{ln2}$

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．