Question

13．已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点F恰好与圆C：x²+y²-2x=0的圆心重合，过焦点F的直线l与抛物线E交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）若O是坐标原点，试问$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$是否为一定值？若是定值，请求出，否则请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点F恰好与圆C：x²+y²-2x=0的圆心重合，即可得出结论；
（Ⅱ）进行一定的分类讨论，讨论直线的斜率是否存在，将直线方程与抛物线方程进行联立，即可得出定值．

解答 解：（Ⅰ）∵圆C：x²+y²-2x=0的圆心为C（1，0），且抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点F恰好与圆C：x²+y²-2x=0的圆心重合，
∴抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点F为（1，0），
∴$\frac{p}{2}$=1，∴p=2，
∴抛物线E的方程为：y²=4x；
（Ⅱ）是定值-3．
由（Ⅰ）得，抛物线E的焦点F（1，0），设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），
①当过F的直线l的斜率不存在时，l垂直与x轴，则l的方程为x=1，
∴A（1，2），B（1，-2），∴$\stackrel{→}{OA}$•$\stackrel{→}{OB}$=1-4=-3，
②当过F的直线的斜率存在时，设斜率为k，则l的方程为y=k（x-1），
由题意得，k≠0，∴x=$\frac{y}{k}$+1，代入y²=4x，得y²-$\frac{4}{k}$y-4=0，
∴y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4，
∴$\stackrel{→}{OA}$•$\stackrel{→}{OB}$=（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁）•（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂）=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{16}$+y₁y₂=1-4=-3，
综上，$\stackrel{→}{OA}$•$\stackrel{→}{OB}$为定值-3．

点评 本题考查方程的求法，考查抛物线与直线相结合的综合，属于中档题．