Question

6．若函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）上为单调函数，则k的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，由于函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调，可得f′（x）≥0或f′（x）≤0在区间（1，+∞）上恒成立，解出即可．

解答 解：f′（x）=k-$\frac{1}{x}$，
∵函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调，
∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立，
或f′（x）≤0在区间（1，+∞）上恒成立，
∴k≥$\frac{1}{x}$或k≤$\frac{1}{x}$，
而y=$\frac{1}{x}$在区间（1，+∞）上单调递减，
∴k≥1或k≤0
∴k的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞），
故答案为：（-∞，0]∪[1，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．