Question

7．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2，S_n=a_n+1-2（n+1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n+1-b_n=4（n∈N^*），且b₁，b₂，b₅成等比数列，数列$\{\frac{b_n}{{{a_n}+2}}\}$的前n项和为T_n，求证：${T_n}=3-\frac{2n+3}{2^n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n≥2，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n+1+2=2（a_n+2），因此数列{a_n+2}是首项为4，公比为2的等比数列，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由题意可得数列{b_n}是等差数列，公差d=4，b₁，b₂，b₅成等比数列，求得b₁=2，求得b_n=4n-2，$\frac{b_n}{{{a_n}+2}}=\frac{2n-1}{2^n}$，利用“错位相减法”即可求得${T_n}=3-\frac{2n+3}{2^n}$．

解答 解：（Ⅰ）由S_n=a_n+1-2（n+1）（n∈N^*）①
当n≥2，S_n-1=a_n-2n，②，
①-②得a_n=a_n+1-a_n-2，即a_n+1+2=2（a_n+2）（n≥2）…（3分）
又由①得a₂=a₁+4=6，
∴a₂+2=2（a₁+2）=8
∴数列{a_n+2}是首项为4，公比为2的等比数列…（5分）
∴${a_n}+2=4×{2^{n-1}}={2^{n+1}}$，
∴数列{a_n}的通项公式${a_n}={2^{n+1}}-2$；…（6分）
（Ⅱ）证明：由题设知数列{b_n}是等差数列，公差d=4
又b₁，b₂，b₅成等比数列，
∴${（{b_1}+4）^2}={b_1}（{b_1}+16）$，
解得b₁=2，
∴b_n=4n-2…（8分）
∴$\frac{b_n}{{{a_n}+2}}=\frac{2n-1}{2^n}$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+…+\frac{2n-1}{2^n}$，③
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{2n-3}{2^n}+\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，④
③-④得，$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+…+\frac{2}{2^n}-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，
∴${T_n}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-2}}}}-\frac{2n-1}{2^n}$，
=$1+\frac{{1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{2n-1}{2^n}$，
=$3-\frac{2n+3}{2^n}$，
∴${T_n}=3-\frac{2n+3}{2^n}$．…（12分）

点评 本题考查等比数列通项公式，等比数列性质，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．