Question

已知椭圆的长轴长为，离心率为，

分别为其左右焦点．一动圆过点，且与直线相切.

1）（ⅰ）求椭圆的方程；

（ⅱ）求动圆圆心轨迹的方程；

2） 在曲线上有两点，椭圆上有两点，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值.

Answer 1

1）（ⅰ）由已知可得，

则所求椭圆方程.　

（ⅱ）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为.

2）当直线MN的斜率不存在时，|MN|=4，

此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，

从而.

设直线的斜率为，则,直线的方程为：

直线PQ的方程为，

设

由，消去可得

由抛物线定义可知：

由，消去得，

从而，          

∴

令，

∵，则

则

所以                     

所以四边形面积的最小值为8.