Question

已知椭圆C焦点在x轴上，其长轴长为4，离心率为，
（1）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围；
（2）如图，过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四点，设原点O到四边形PQSR一边的距离为d，试求d=1时a，b满足的条件．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知．由此得．设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由得（1+4k²）x²+16kx+12=0．由△=（16k）²-4×12（1+4k²）＞0，知．又，由．得-2＜k＜2．由此得：．
（2）由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等．当P在y轴上，Q在x轴上时，直线PQ的方程为，由d=1得，当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，P（x₁，kx₁），则直线RQ的斜率为，由，得（1），同理．由此知a，b满足条件．
解答：解：（1）∵椭圆C焦点在x轴上，其长轴长为4，离心率为，
∴．解得a=2，b=1，∴
显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（5分）
由得（1+4k²）x²+16kx+12=0．∵△=（16k）²-4×12（1+4k²）＞0，
∴
又
由．∴．
所以=∴-2＜k＜2．
由此得：．
（2）由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等．
当P在y轴上，Q在x轴上时，直线PQ的方程为，由d=1得，
当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，P（x₁，kx₁），则直线RQ的斜率为，
由，得（1），同理
在Rt△OPQ中，由，即|PQ|²=|OP|²•|OQ|²
所以，化简得，
分，
即．
综上，d=1时a，b满足条件
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．