Question

5．设$\overrightarrow a=\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}，\overrightarrow b=-3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$，其中$\overrightarrow{e_1}⊥\overrightarrow{e_2}$且${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$=${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=1
（1）计算$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$的值；
（2）当k为何值时，$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-3\overrightarrow b$互相垂直？

Answer 1

分析 （1）根据向量模长的公式进行计算即可，
（2）根据向量垂直转化为向量数量积公式进行求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}，\overrightarrow b=-3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$，
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∵$\overrightarrow{e_1}⊥\overrightarrow{e_2}$且${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$=${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=1
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=0，
则$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$²=（-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$）²=4${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+16${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=4+16=20，
则$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=2$\sqrt{5}$；
（2）若$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-3\overrightarrow b$互相垂直，
则（$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a-3\overrightarrow b$）=0，
即（k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2k$\overrightarrow{{e}_{2}}$-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$-3（-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$））=0
即（（k-3）$\overrightarrow{{e}_{1}}$+（2k+2）$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（10$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=0
即10（k-3）${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$-4（2k+2）${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=0，
即10（k-3）-4（2k+2）=0，
得2k=38，
在k=19．

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据向量模长公式以及向量垂直与向量数量积的关系是解决本题的关键．考查学生的计算能力．