某市因交通堵塞.在周一到周五进行交通限行.周一.周三.周五双号限行.周二.周四单号限行．某单位有双号车两辆.单号车两辆.在限行前.双号车每辆车每天出车的概率为$\frac{2}{3}$.单号车每辆车每天出车的概率为$\frac{1}{2}$.且每辆车出车是相互独立的．(1)若该单位的某员工需要在周一和周二两天中的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．某市因交通堵塞，在周一到周五进行交通限行，周一、周三、周五双号限行，周二、周四单号限行．某单位有双号车两辆，单号车两辆，在限行前，双号车每辆车每天出车的概率为$\frac{2}{3}$，单号车每辆车每天出车的概率为$\frac{1}{2}$，且每辆车出车是相互独立的．
（1）若该单位的某员工需要在周一和周二两天中的一天用车，且这两天用车的可能性相同，求他能出车的概率；
（2）设X表示该单位在周一与周二两天的出车台数之和，求X的分布列及数学期望．

分析（Ⅰ）设他能出车的事件为A，利用相互立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出他能出车的概率．
（Ⅱ）根据题意可得X的可能取值为0，1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答解：（Ⅰ）设他能出车的事件为A，
则$P（A）=\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}）+\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}×\frac{1}{3}）=\frac{59}{72}$．-----------（4分）
（Ⅱ）根据题意可得X的可能取值为0，1，2，3，4．
$P（X=0）=C_2^0{（\frac{1}{3}）^2}C_2^0{（\frac{1}{2}）^2}=\frac{1}{36}$，
$P（X=1）=C_2^1×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×C_2^0{（\frac{1}{2}）^2}+C_2^0{（\frac{1}{3}）^2}C_2^1{（\frac{1}{2}）^2}=\frac{6}{36}$，
$P（X=2）=C_2^2{（\frac{2}{3}）^2}C_2^0{（\frac{1}{2}）^2}+C_2^1×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×C_2^1{（\frac{1}{2}）^2}+C_2^0{（\frac{1}{3}）^2}C_2^2{（\frac{1}{2}）^2}=\frac{13}{36}$，
$P（X=3）=C_2^2{（\frac{2}{3}）^2}C_2^1{（\frac{1}{2}）^2}+C_2^1×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×C_2^2{（\frac{1}{2}）^2}=\frac{12}{36}$，
$P（X=4）=C_2^2{（\frac{2}{3}）^2}C_2^2{（\frac{1}{2}）^2}=\frac{4}{36}$．
所以X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{12}{36}$	$\frac{4}{36}$

EX=$0×\frac{1}{36}+1×\frac{6}{36}+2×\frac{13}{36}+3×\frac{12}{36}+4×\frac{4}{36}$=$\frac{7}{3}$．---------（12分）．

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．

试题分类