Question

设直线l：x-y+m=0与抛物线C：y²=4x交于不同两点A、B，F为抛物线的焦点．
（1）求△ABF的重心G的坐标；
（2）如果m=-3，求△ABF的外接圆的方程．

Answer 1

分析：（1）联立直线与抛物线方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则根据方程的根与系数关系可求x₁+x₂，y₁+y₂，当△=（2m-4）²-4m²＞0，由重心坐标公式可得xG=

1+x1+x2

3

，yG=

0+y1+y2

3

可求G
（2）当m=-3时，由已知得

y=x-3 y2=4x

，可求A，B，设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，把A，B，F的坐标代入圆的方程可求

解答：解：（1）由已知得

y=x+m y2=4x

消去y得x²+（2m-4）x+m²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则x₁+x₂=4-2m，y₁+y₂=4，且F（1，0）
当△=（2m-4）²-4m²≤0，即 m≥1时，不构成三角形
当△=（2m-4）²-4m²＞0，即m＜1且m≠-1时，
由重心坐标公式可得xG=

1+x1+x2

3

=

5-2m

3

，yG=

0+y1+y2

3

=

4

3

∴重心为(

5-2m

3

，

4

3

)
（2）当m=-3时，由已知得

y=x-3 y2=4x

消去y得x²-10x+9=0，
∴x₁=9，x₂=1
∴A（9，6），B（1，-2），设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
则

9D+6E+F+117=0 D-2E+F+5=0 D+F+1=0

∴D=-16，E=2，F=15
所以圆的方程为：x²+y²-16x+2y+15=0

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线相交关系的应用，三角形的重心坐标公式及利用待定系数法求解圆的方程，主要体现了方程思想的应用．