Question

已知定义域为（O，+∞）的单调函数f（x），若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）+]=3”，则方程f（x）=2+的解的个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．O

Answer 1

【答案】分析：由题设知必存在唯一的正实数a，满足，f（a）=3，，故3+，，，左增，右减，有唯一解a=2，故，由此能够导出方程f（x）=2+的解的个数是2．
解答：解：∵定义域为（O，+∞）的单调函数f（x），
满足f[f（x）+]=3，f（x）=2+，
∴必存在唯一的正实数a，
满足，f（a）=3，①
∴，②
由①②得：3+，
，
，左增，右减，有唯一解a=2，
故，
f（x）=2-，
由2-=2+，得，
∴，
令，则t²=2^t，
此方程只有两个正根t=2，或t=4，
∴x=4，或x=16．
故方程f（x）=2+的解的个数是2．
故选B．
点评：本题考查对数的运算性质的综合运用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．