Question

17．已知向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$为单位向量，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{1}{4}$，点C是向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的夹角内一点，$|\overrightarrow{OC}|=4$，$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\frac{7}{2}$．若数列{a_n}满足$\overrightarrow{OC}=\frac{{3{a_{n+1}}（{a_n}+1）}}{{2{a_n}}}\overrightarrow{OB}+{a_1}\overrightarrow{OA}$，则a₄=$\frac{16}{15}$．

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\frac{7}{2}$列出一个关系式①，再根据$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{1}{4}$，可以求得$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的夹角的余弦值，同理可以求出$\overrightarrow{OB}、\overrightarrow{OC}$的夹角的余弦值，再根据角之间的关系，可以求得$\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OC}$的夹角的余弦值，从而利用$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$列出一个等式②，联立①②即可得a₁和递推关系，根据递推关系构造等比数列求解．

解答 解：∵$\overrightarrow{OC}=\frac{{3{a_{n+1}}（{a_n}+1）}}{{2{a_n}}}\overrightarrow{OB}+{a_1}\overrightarrow{OA}$，
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=$\frac{3{a}_{n+1}（{a}_{n}+1）}{2{a}_{n}}\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OB}+{a}_{1}\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$．
∵向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$为单位向量，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{1}{4}$，$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\frac{7}{2}$，
∴$\frac{7}{2}$=$\frac{3{a}_{n+1}（{a}_{n}+1）}{2{a}_{n}}+\frac{1}{4}{a}_{1}$  ①，
设$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为α，$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为β，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为γ，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|cosα=$\frac{1}{4}$，∴cosα=$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{2}•\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$
∵α∈[0，π]，∴sinα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=|$\overrightarrow{OB}$||$\overrightarrow{OC}$|cosα=$\frac{7}{2}$，∴cosβ=$\frac{7}{8}$，
∵β∈[0，π]，∴sinβ=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
∴cosγ=cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{1}{4}×\frac{7}{8}+\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\frac{11}{16}$．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|cosγ$=1×4×$\frac{11}{16}$=$\frac{11}{4}$．
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=\frac{3{a}_{n+1}（{a}_{n}+1）}{2{a}_{n}}\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$+${a}_{1}\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OA}$，
即$\frac{11}{4}=\frac{3{a}_{n+1}（{a}_{n}+1）}{2{a}_{n}}×\frac{1}{4}+{a}_{1}$  ②，
由①②可解得，a₁=2，$\frac{3{a}_{n+1}（{a}_{n}+1）}{2{a}_{n}}=3$，
∴${a}_{n+1}=\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{2}•\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-1=\frac{1}{2}（\frac{1}{{a}_{n}}-1）$．
∵$\frac{1}{{a}_{1}}-1=-\frac{1}{2}≠0$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以$-\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．
∴$\frac{1}{{a}_{4}}-1=-\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}）^{3}=-\frac{1}{16}$，则${a}_{4}=\frac{16}{15}$．
故答案为：$\frac{16}{15}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积、三角函数求值、数列的递推公式，综合性非常强，对学生的要求很高，属于难题．