Question

20．若函数$f（x）=\frac{{{a^x}+1}}{{{a^x}-b}}（0＜a＜1）$的图象关于原点对称，则函数g（x）=log_a（x+b）的大致图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 先根据奇函数的定义求出b的值，再根据图象的平移即可得到答案．

解答 解：∵$f（x）=\frac{{{a^x}+1}}{{{a^x}-b}}（0＜a＜1）$$\frac{{a}^{-x}+1}{{a}^{-x}-b}$的图象关于原点对称，
∴f（-x）=-f（x）
∴$\frac{{a}^{-x}+1}{{a}^{-x}-b}$=$\frac{{a}^{x}+1}{1-b{a}^{x}}$=-$\frac{{a}^{x}+1}{b{a}^{x}-1}$=-$\frac{{a}^{x}+1}{{a}^{x}-b}$
即b=1，
g（x）=log_a（x+b）=log_a（x+1），
∴g（x）=log_a（x+1）是由y=log_ax先左平移一个单位得到，
故选：D

点评 本题考查了奇函数的性质和对数函数的性质，属于基础题．