Question

8．已知$\overrightarrow m=（sin（x-\frac{π}{3}）\;，\;1）\;，\;\overrightarrow n=（cosx\;，\;1）$
（1）若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，求tanx值
（2）若函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$，$x∈[{0\;，\;\frac{π}{2}}]$，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线的条件建立方程，即可求tanx值；
（2）化简函数，结合三角函数的性质求函数f（x）的最大值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，∴sin（x-$\frac{π}{3}$）=cosx，
展开化简可得tanx=2+$\sqrt{3}$；
（2）f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=sin（x-$\frac{π}{3}$）cosx+1=（$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）cosx+1=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{4}$+1，
∵0$≤x≤\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x-$\frac{5π}{12}$时，f（x）_max=$\frac{6-\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查向量共线的条件、三角函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．