Question

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，又a₃与a₅的等比中项为2，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=5-log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n}的通项公式；
（Ⅲ）设T_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：本题（Ⅰ）可以根据条件得到首项与公差的方程，解方程组得首项和公差，从而不出数列的通项公式，也可以先求出a₃与a₅，再求出出首项和公差，得到数列{a_n}的通项公式；（Ⅱ）根据数列{a_n}的通项公式，求出数列{b_n}的通项公式，利用等差数列的求和公式，求出数列{b_n}的前n项和为S_n，得到本题结论；（Ⅲ）利用数列{b_n}的前n项和为S_n，用裂项法求和，得T_n，即本题结论．

解答： 解：（I）∵等比数列{a_n}中，a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，
∴a32+2a3a5+a52=25．
∵a_n＞0（n∈N^*），
∴a₃+a₅=5．
又∵a₃与a₅的等比中项为2，
∴a₃a₅=4，
而q∈（0，1），
∴a₃＞a₅，
∴a₃=4，a₅=1．
∴q=

1

2

，a₁=16．
∴a_n=16×（

1

2

）^n-1=2^5-n．
（Ⅱ）∵b_n=5-log₂a_n，
∴b_n=5-log₂a_n=5-（5-n）=n，
∴b_n+1-b_n=1．
∴{b_n}是以b₁=1为首项，1为公差的等差数列，
∴Sn=

n(n+1)

2

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．

点评：本题考查了数列的通项公式及前n项和公式的求法，本题难度不大，属于基础题．